WikiSort.ru - Программирование

Region quadtree

Деревья квадрантов, разбивающие пространство (англ. region quadtree), представляют какую-либо часть двумерного пространства разбивая его на 4 квадранта, субквадранты и так далее, причём каждый лист дерева соответствует определённой области. У каждого узла дерева либо 4 потомка, либо их нет вовсе (у листьев). Деревья квадрантов, разбивающие пространство, не являются деревьями в полной мере, поскольку положение субквадрантов не зависит от данных. Более правильное название — префиксные деревья (англ. trie).

Дерево высоты n может быть использовано для представления изображения, состоящего из 2ⁿ × 2ⁿ пикселей, где каждый пиксель имеет значение 0 или 1. Корень дерева представляет всю область изображения. Если не все пиксели только нули или только единицы, она разбивается. В этом случае каждый лист соответствует множеству пикселей — либо только из нулей, либо только из единиц.

Деревья квадрантов, разбивающие пространство, также могут быть использованы для представления переменного разрешения какого-либо набора данных. Например, информация о температуре может храниться в виде дерева квадрантов, каждый узел которого хранит среднюю температуру дочерних узлов.

Если дерево используется для представления множества точек (например, широты и долготы положений каких-либо городов), области разбиваются до тех пор, пока листья будут содержать не более одной точки.

Point quadtree

Деревья квадрантов, хранящие информацию о точках (англ. point quadtree), — разновидность бинарных деревьев, используемых для хранения информации о точках на плоскости. Форма дерева зависит от порядка задания данных. Использование таких деревьев очень эффективно в сравнении упорядоченных точек плоскости, причём время обработки равно O(log n).

Edge quadtree

Деревья квадрантов, хранящие информацию о линиях (англ. edge quadtree), используются для описания прямых и кривых. Кривые описываются точными приближениями путём разбиения ячеек на очень мелкие. Это может привести к разбалансировке дерева, что будет означать проблемы с индексацией.

Polygonal map quadtree

Деревья квадрантов, хранящие информацию о многоугольниках (англ. polygonal map quadtree/PMQuadtree), могут содержать информацию о полигонах, в том числе и о вырожденных (имеющих изолированные вершины или грани)^[1].

Структуры данных

Предполагается использование следующих структур данных.

// Простая структура для представления точки или вектора
struct XY
{
  float x;
  float y;

  function __construct(float _x, float _y) {...}
}

// Ограничивающий параллелепипед, выровненный по координатным осям
// (axis-aligned bounding box, AABB), половинной размерности с центром
struct AABB
{
  XY center;
  XY halfDimension;

  function __construct(XY center, XY halfDimension) {...}
  function containsPoint(XY p) {...}
  function intersectsAABB(AABB other) {...}
}

Класс QuadTree

Класс представляет собственно 4-дерево и корневой узел.

class QuadTree
{
  // Константа — количество элементов, которые можно хранить в одном узле
  constant int QT_NODE_CAPACITY = 4;

  // Ограничивающий параллелепипед, выровненный по координатным осям,
  // показывает границы дерева
  AABB boundary;

  // Точки
  Array of XY [size = QT_NODE_CAPACITY] points;

  // Потомки
  QuadTree* northWest;
  QuadTree* northEast;
  QuadTree* southWest;
  QuadTree* southEast;

  // Методы
  function __construct(AABB _boundary) {...}
  function insert(XY p) {...}
  function subdivide() {...} // Создание 4 потомков, делящих квадрант на 4 равные части
  function queryRange(AABB range) {...}
}

Вставка

Следующий метод осуществляет вставку точки в соответствующий квадрант дерева, осуществляя разбиение, если это необходимо.

class QuadTree {
 ...

  // Вставить точку
  function insert(XY p)
  {
    // Игнорировать объекты, не принадлежащие дереву
    if (!boundary.containsPoint(p))
      return false; // Объект не может быть добавлен

    // Если есть место, осуществить вставку 
    if (points.size < QT_NODE_CAPACITY)
    {
      points.append(p);
      return true;
    }

    // Далее необходимо разделить область и добавить точку в какой-либо узел
    if (northWest == null)
      subdivide();

    if (northWest->insert(p)) return true;
    if (northEast->insert(p)) return true;
    if (southWest->insert(p)) return true;
    if (southEast->insert(p)) return true;

    // По каким-то причинам вставка может не осуществиться (чего на самом деле не должно происходить)
    return false;
  }
}

Вхождение в диапазон

Следующий метод находит все точки, входящие в некоторый диапазон.

class QuadTree
{
  ...

  // Найти точки, входящие в диапазон
  function queryRange(AABB range)
  {
    // Подготовить массив под результат
    Array of XY pointsInRange;

    // Отмена, если диапазон не совпадает с квадрантом
    if (!boundary.insersectsAABB(range))
      return pointsInRange; // Пустой список

    // Проверить объекты текущего уровня
    for (int p := 0; p < points.size; p++)
    {
      if (range.containsPoint(points[p]))
        pointsInRange.append(points[p]);
    }

    // Остановка, если больше нет потомков
    if (northWest == null)
      return pointsInRange;

    // Добавить все точки потомков
    pointsInRange.appendArray(northWest->queryRange(range));
    pointsInRange.appendArray(northEast->queryRange(range));
    pointsInRange.appendArray(southWest->queryRange(range));
    pointsInRange.appendArray(southEast->queryRange(range));

    return pointsInRange;
  }
}

Примечания

Источники

1. Raphael Finkel and J.L. Bentley (1974). “Quad Trees: A Data Structure for Retrieval on Composite Keys”. Acta Informatica. 4 (1): 1—9. DOI:10.1007/BF00288933.
2. Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars, and Otfried Schwarzkopf. Computational Geometry. — 2nd revised. — Springer-Verlag, 2000. — ISBN 3-540-65620-0. Chapter 14: Quadtrees: pp. 291–306.
3. [http://infolab.usc.edu/csci585/Spring2008/den_ar/p182-samet.pdf Storing a Collection of Polygons Using

Quadtrees] (неопр.) (July 1985). Проверено 23 марта 2012. Архивировано 2 октября 2012 года.