Метод множителей Лагранжа, применяемый для решения задач математического программирования (в частности, линейного программирования) — метод нахождения условного экстремума функции , где , относительно ограничений , где меняется от единицы до .
Нижеприведенное обоснование метода множителей Лагранжа не является его строгим доказательством. Оно содержит эвристические рассуждения, помогающие понять геометрический смысл метода.
Пусть требуется найти экстремум функции при условии, заданном уравнением .
Будем считать, что
Нарисуем на плоскости линии уровня функции (то есть кривые ). Из геометрических соображений следует, что точкой (возможно — точками) условного экстремума функции может быть только точка касания кривой и некоторой линии уровня, то есть точкой, в которой касательная к и касательная к этой линии уровня — совпадают. Действительно, если в некоторой точке кривая пересекает линию уровня трансверсально (то есть под некоторым ненулевым углом), то при движении по кривой из точки можно попасть как на линии уровня, соответствующие значению большему , так и на линии уровня, соответствующие значению меньшему . Следовательно, такая точка не может быть точкой экстремума.
Тем самым, необходимым условием экстремума в рассматриваемом случае будет совпадение касательных. Чтобы записать его в аналитической форме, заметим, что оно эквивалентно параллельности градиентов функций и в данной точке, поскольку вектор градиента перпендикулярен касательной к линии уровня. Это условие выражается в следующей форме:
где — некоторое число, отличное от нуля, и являющееся множителем Лагранжа.
Рассмотрим теперь функцию Лагранжа , зависящую от и :
Необходимым условием её экстремума является равенство нулю градиента . В соответствии с правилами дифференцирования, оно записывается в виде
В полученной системе первые два уравнения эквивалентны необходимому условию локального экстремума (1), а третье — уравнению . Из неё можно найти . При этом , поскольку в противном случае градиент функции обращается в нуль в точке , что противоречит предположениям.
Замечание. Найденные таким способом точки могут и не являться точками условного экстремума — записанное дифференциальное условие носит необходимый, но не достаточный характер.
Вышеприведённые рассуждения о нахождении условного экстремума с помощью вспомогательной функции составляют основу метода множителей Лагранжа и обобщаются на случай произвольного числа переменных и уравнений, задающих условия.
На основе метода множителей Лагранжа можно получить достаточные условия условного экстремума, требующие анализа (в простейшем случае) вторых производных функции Лагранжа .
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .