WikiSort.ru - Программирование

о проекте

В математике теория момента остановки или марковский момент времени связана с проблемой выбора времени, чтобы принять определённое действие, для того чтобы максимизировать ожидаемое вознаграждение или минимизировать ожидаемые затраты. Проблема момента остановки может быть найдена в области статистики, экономики и финансовой математики (связанные с ценообразованием на американские опционы). Самым ярким примером, относящимся к моменту остановки, является Задача о разборчивой невесте. Проблема момента остановки часто может быть написана в форме уравнения Беллмана и поэтому часто решается с помощью динамического программирования.

Определение

Случай с дискретным временем

Как правило, проблема момента остановки связана с двумя объектами:

  1. Последовательность случайных величин , чье совместное распределение предполагается известным
  2. Последовательность «вознаграждающих» функций которые зависят от наблюдаемых значений случайных величин в 1.:

С учетом этих объектов, проблема заключается в следующем:

  • Вы, соблюдая последовательность случайных величин, на каждом можете выбрать либо прекратить наблюдение либо продолжить
  • Если вы прекратите наблюдать на , вы получите награду
  • Вы хотите выбрать правило остановки, чтобы максимизировать предполагаемое вознаграждение (или, что эквивалентно, минимизации ожидаемых потерь)

Случай непрерывного времени

Рассмотрим усиление процессов определёнными на фильтрованном вероятностном пространстве и предположим, что это адаптирование фильтрации. Задача момента остановки состоит в том, чтобы найти время остановки которое максимизирует ожидаемый выигрыш

где называется значением функции. Здесь может иметь значение .

Более конкретная формулировка выглядит следующим образом. Мы считаем, адаптированный сильный Марковский процесс определённый на фильтрованном вероятностном пространстве где обозначает вероятность измерения, где случайный процесс начинается с . С учетом непрерывных функций и в задаче момента остановки

Иногда это называется МЛС (Майер, Лагранж и супремум, соответственно) формулировка.[1]

Методы решения

Есть два подхода к решению проблемы момента остановки. Когда основной процесс (или усиление процесса) описывается своим безусловным конечномерным распределением, тогда соответствующий метод решения — подход Мартингала, названный так потому, что он использует теорию Мартингала, наиболее важным понятием является разработка Снелла. В дискретном случае, если горизонт планирования конечен, проблема может быть легко решена с помощью динамического программирования.

Когда основной процесс определяется семейством (условных) функций переходов приводящих к Марковскому семейству вероятностных переходов, часто могут быть использованы мощные аналитические инструменты теории Марковских процессов и такой подход называется Марковским методом. Решение обычно получается решения ассоциированных задач со свободными границами (Стефан проблемы).

Результат диффузии прыжка

Пусть будет диффузия Леви в из стохастического дифференциального уравнения

где  — -мерное Броуновское движение, это -мерное компенсированная пуассоновская случайная мера, , , и заданы такие функции, что единственное решение существует. Пусть будет открытым множеством (область платежеспособности) и

время банкротства. Задача оптимальной остановки:

Получается, что при некоторых условиях регулярности,[2] следующая проверка теоремы содержит:

Если функция удовлетворяет

  • где области являются продолжением ,
  • на и
  • на , где  — бесконечно малый генератор из

тогда для всех . Кроме того, если

  • на

Тогда для всех и  — момент остановки

Эти условия могут быть записаны в более компактной форме (интегро-вариационного неравенства):

  • на

Примеры

Подбрасывание монетки

(Например, где сходится)

У вас есть монета и вы её неоднократно бросаете. Каждый раз, перед тем, как её бросить, вы можете прекратить бросать её и получать деньги (в долларах, скажем), за средним числом наблюдаемых головок.

Вы хотите, чтобы сумма, которую бы вам заплатили, была бы максимальной, выбирая правило остановки. Если хi (где i ≥ 1) образует последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с распределением Бернулли

и если

тогда в последовательности и будут объекты, связанные с этой проблемой.

Продажа дома

(Например, где не обязательно сходится)

У вас есть дом и вы хотели бы продать его. Каждый день вам предлагают за ваш дом, и платить для продолжения рекламы. Если вы продаете ваш дом в день , вы заработаете , где .

Вы хотите максимизировать сумму, которую вы зарабатываете, выбирая правило остановки.

В этом примере последовательности ( ) является последовательностью предложений за ваш дом, а последовательность «вознаграждений» функций определяет, сколько вы будете зарабатывать.

Задача о разборчивой невесте

(Например, где  — это конечная последовательность)

Вы наблюдаете последовательность объектов, которые могут быть отсортированы от лучшего к худшему. Вы хотите выбрать правило остановки, которое максимизирует ваши шансы на выбор лучшего объекта.

К примеру, если (n - это некоторое большое число, возможно) — ранги объектов, и это шанс, что вы выберете лучший объект, если вы остановите намеренное отклонение объектов на этапе i, то и являются последовательности, связанные с этой проблемой. Эта проблема была решена в начале 1960-х годов несколько человек. Изящное решение проблемы секретаря и несколько модификаций этой проблемы обеспечивается более современным алгоритмом оптимальной остановки (алгоритм Брюса).

Теория поиска

Экономисты изучили ряд оптимальных проблем момента остановки, подобных «проблеме секретаря», и обычно называют этот тип анализа «теорией поиска». Теория поиска особенно ориентирована на поиск работником высокооплачиваемой работы или поиск потребителем недорогой продукции.

Торговля опционами

В торговле опционами на финансовых рынках, держатель американского опциона может осуществлять право купить (или продать) базовый актив по определённой цене в любое время до или в момент истечения срока. Таким образом, оценка американских опционов, по сути, проблема оптимальной остановки. Рассмотрим классическую модель Блэка-Шоулза и пусть будет безрисковой процентной ставкой и ставка дивидендов и непостоянство акции. Цена акций следует следует за геометрическим броуновским движением

В соответствии с мерой риска.

Когда параметр является бессрочным, задача оптимальной остановки

где функция выигрыша для опциона вызова и для опциона ставки. Вариационное неравенство

для всех где это граница физических упражнений. Решение известно[3]

  • (Бесконечный вызов) где и
  • (Бесконечная ставка) где и

С другой стороны, когда конечный срок действия конечен, задача связана с двумерной задачей о свободной границе без известного решения замкнутой формы. Однако могут быть использованы различные численные методы. См. Модель Black-Scholes # Американские опционы для различных методов оценки здесь, а также Fugit для дискретного дерева на основе расчета оптимального времени для тренировки.

См. также

Ссылки

  1. Peskir, Goran; Shiryaev, Albert (2006). “Optimal Stopping and Free-Boundary Problems”. Lectures in Mathematics. ETH Zürich. DOI:10.1007/978-3-7643-7390-0. ISBN 978-3-7643-2419-3.
  2. Øksendal, B.; Sulem, A. S. (2007). “Applied Stochastic Control of Jump Diffusions”. DOI:10.1007/978-3-540-69826-5. ISBN 978-3-540-69825-8.
  3. Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1998). “Methods of Mathematical Finance”. Stochastic Modelling and Applied Probability. 39. DOI:10.1007/b98840. ISBN 978-0-387-94839-3.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .




Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2019
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии