WikiSort.ru - Программирование

Двумерный случай

Пусть требуется найти экстремум функции ${\displaystyle f(x,\;y)}$ при условии, заданном уравнением ${\displaystyle \psi (x,\;y)=0}$ .

Будем считать, что

1) функция ${\displaystyle f}$ непрерывно дифференцируема,

2) функция ${\displaystyle \psi }$ непрерывно дифференцируема, с частными производными, не равными нулю одновременно, то есть уравнение ${\displaystyle \psi (x,\;y)=0}$ задаёт гладкую кривую ${\displaystyle S}$ из обыкновенных точек на плоскости ${\displaystyle (x,\;y)}$ .

3) кривая ${\displaystyle S}$ не проходит через точки, в которых градиент ${\displaystyle f}$ обращается в ${\displaystyle 0}$ .

Нарисуем на плоскости ${\displaystyle (x,\;y)}$ линии уровня функции ${\displaystyle f}$ (то есть кривые ${\displaystyle f(x,\;y)=\mathrm {const} }$ ). Из геометрических соображений следует, что точкой (возможно — точками) условного экстремума функции ${\displaystyle f}$ может быть только точка касания кривой ${\displaystyle S}$ и некоторой линии уровня, то есть точкой, в которой касательная к ${\displaystyle S}$ и касательная к этой линии уровня — совпадают. Действительно, если в некоторой точке ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$ кривая ${\displaystyle S}$ пересекает линию уровня ${\displaystyle f(x_{0},\;y_{0})=C_{0}}$ трансверсально (то есть под некоторым ненулевым углом), то при движении по кривой ${\displaystyle S}$ из точки ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$ можно попасть как на линии уровня, соответствующие значению большему ${\displaystyle C_{0}}$ , так и на линии уровня, соответствующие значению меньшему ${\displaystyle C_{0}}$ . Следовательно, такая точка не может быть точкой экстремума.

Тем самым, необходимым условием экстремума в рассматриваемом случае будет совпадение касательных. Чтобы записать его в аналитической форме, заметим, что оно эквивалентно параллельности градиентов функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle \psi }$ в данной точке, поскольку вектор градиента перпендикулярен касательной к линии уровня. Это условие выражается в следующей форме:

${\displaystyle \nabla f{\Big |}_{(x_{0},\;y_{0})}=\lambda \cdot \nabla \psi {\Big |}_{(x_{0},\;y_{0})},\qquad \qquad (1)}$

где ${\displaystyle \lambda }$  — некоторое число, отличное от нуля, и являющееся множителем Лагранжа.

Рассмотрим теперь функцию Лагранжа , зависящую от ${\displaystyle x,\;y}$ и ${\displaystyle \lambda }$ :

${\displaystyle L(x,\;y,\;\lambda )=f(x,\;y)-\lambda \cdot \psi (x,\;y).}$

Необходимым условием её экстремума является равенство нулю градиента ${\displaystyle \nabla L(x_{0},\;y_{0},\;\lambda _{0})=0}$ . В соответствии с правилами дифференцирования, оно записывается в виде

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{llcc}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}{\Big |}_{(x_{0},\;y_{0})}&-\lambda _{0}\cdot {\dfrac {\partial \psi }{\partial x}}{\Big |}_{(x_{0},\;y_{0})}&=&0,\\{\dfrac {\partial f}{\partial y}}{\Big |}_{(x_{0},\;y_{0})}&-\lambda _{0}\cdot {\dfrac {\partial \psi }{\partial y}}{\Big |}_{(x_{0},\;y_{0})}&=&0,\\&-\psi (x_{0},\;y_{0})&=&0.\end{array}}\right.}$

В полученной системе первые два уравнения эквивалентны необходимому условию локального экстремума (1), а третье — уравнению ${\displaystyle \psi (x,\;y)=0}$ . Из неё можно найти ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;\lambda _{0})}$ . При этом ${\displaystyle \lambda _{0}\neq 0}$ , поскольку в противном случае градиент функции ${\displaystyle f}$ обращается в нуль в точке ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})\in S}$ , что противоречит предположениям.

Замечание. Найденные таким способом точки ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$ могут и не являться точками условного экстремума ${\displaystyle f}$  — записанное дифференциальное условие носит необходимый, но не достаточный характер.

Вышеприведённые рассуждения о нахождении условного экстремума с помощью вспомогательной функции ${\displaystyle L}$ составляют основу метода множителей Лагранжа и обобщаются на случай произвольного числа переменных и уравнений, задающих условия.

На основе метода множителей Лагранжа можно получить достаточные условия условного экстремума, требующие анализа (в простейшем случае) вторых производных функции Лагранжа ${\displaystyle L}$ .